5/22~28 Lovesey et al. X-ray scattering

Lovesey et al. X-ray scattering and absorption by magnetic material. Ch8. Theoretical Framework

 

1. Differential cross-section

$$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{mr_e^2}{m^*}\frac{q'}{q} |\bra{\mu'} \vb{G} \ket{\mu}|^2 $$

Differential cross-section은 Fermi's golden rule에 의해 transition rate를 계산하고, flux로 나누면 얻을 수 있다. (Flux) * (반응면적) = (시간당 반응량) 이어야 되기 때문이다. 따라서 transition probability matrix element의 absolute square에 비례하게 되어있다. \( r_e^2 \)(classical electron radius)은 Sakurai QM의 (5.320)식에도 드러나 있다. Charge scattering이 \( \vb{p} \cdot \vb{A} \)에 의존하는데 이 항의 계수가 \( r_e \)와 연관되어있기 때문에 고전 전자 반지름이 (5.320)식에 나타난 것으로 보인다. \( m^{*} \)라는 effective mass과 왜 나오는지는 모르겠다. \( q'/q \)도 왜 등장하는지 아직 모른다.

 

2. Polarization density matrix

$$ \pmb{\mu} =  \frac{1}{2}(I + \vb{P} \cdot \pmb{\sigma}) $$

where \( \vb{P} \) is Stokes vector(parameters).

Incident photon의 polarization이 하나로 정해져있다고 볼 수 없다. 현실에서는 unpolarized beam을 사용할 수도 있고, partial polarization을 이용할 수 있다. 그런 경우들에 대해 cross-section을 구하는 식이 3번에 있다. 그것을 계산하기 위해 통계적으로 섞여있는 polarization을 표현한 것이 2번 식이다. Stokes vector로 partial polarization을 표현할 수 있는데, 예를 들면 \( P_3 = 1 \)일 때(나머지 0) scattering plane에 수직한 polarization으로만 beam이 구성되어 있다. \( P_3 = -1 \)일 때(나머지 0) scattering plane에 포함되는 polarization으로만 beam이 구성되어 있다. 모든 성분이 없으면 unpolarized, 두 polarization 상태가 같은 만큼 있는 ensemble이다. \( P_1 = 1 \)이면 (1,1) 방향 polarization이 ensemble을 모두 차지하고 있는 경우다. \( P_1 = -1 \)이면 (1,-1)방향에 대해 그러하다. \(P_2 = 1\)이면 right-handed circular polarization 100% ensemble이고 \( P_2 = -1 \)이면 left-handed circular polarization 100% ensemble이다.

Density matrix가 가져야 하는 성질은 두 가지이다. 첫번째로 그것은 hermitian이어야 한다는 것이다. 두번째로 그것은 trace가 1이어야 한다. 따라서 어떤 orthogonal basis로 표현된 density matrix는 자유도를 고려해보자면, hermitian인 것만 고려했을 때 4개고 trace 조건에 의해 1개 줄어들어서 3개가 된다. 사실상 두 polarization에 관한 확률이 되므로 확률에 영향을 주는 자유도는 1개가 있고 동시에 trace조건에 의해 모든 확률을 결정한다. 나머지 두 자유도는 basis transform하고 관련이 있고, 본질적인 확률과는 관련이 없다.

 

3. Differential cross-section with partial polarization of incident ray.

$$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = r_e^2 Tr \{ \pmb{\mu} \vb{G}^\dagger \vb{G} \} $$

$$ \frac{d\sigma}{d\Omega}\vb{P'} = r_e^2 Tr \{ \pmb{\mu} \vb{G}^\dagger \pmb{\sigma} \vb{G} \} $$

where trace is for polarization states.

유도과정

구하고자 하는 것은 다음과 같다.

\[ \begin{eqnarray} \sum_{\epsilon' \epsilon} p(\epsilon') p(\epsilon) |\bra{\epsilon'}O\ket{\epsilon}|^2\\= \sum_{\epsilon' \epsilon} p(\epsilon') p(\epsilon) \bra{\epsilon} O^{\dagger} \ket{\epsilon'} \bra{\epsilon'} O \ket{\epsilon}\\= \sum_{\epsilon} p(\epsilon) \bra{\epsilon} O^{\dagger} \left( \sum_{\epsilon'} p(\epsilon') \ket{\epsilon'} \bra{\epsilon'} \right) O \ket{\epsilon} \\ = \sum_{\epsilon \epsilon_1} p(\epsilon_1) \bra{\epsilon} \ket{\epsilon_1} \bra{\epsilon_1} O^{\dagger} \rho' O \ket{\epsilon} \\ = \sum_{\epsilon} \bra{\epsilon} \rho O^\dagger \rho' O \ket{\epsilon} \\ = Tr\{ \rho O^\dagger \rho' O \} = Tr\{ \rho' O \rho O^{\dagger} \} \end{eqnarray} \]

의문점 : 1번식에서 출발한 것으로 보이는데, 왜 \( q'/q \)이 없어졌는가?