5/14 Light-matter scattering, Fermi's golden rule

 

1. N개의 전자와 광자가 존재하고 서로 상호작용하는 시스템을 기술하는 Hamiltonian

 - 소괄호 첫 번째 항은 canonical momentum으로 얻는 전자기 포텐셜 내에서의 전자 운동에너지 항이다. Canonical momentum이란 Lagrangian mechanics에서 Lagrangian에 conjugate position에 대한 의존성이 없으면 보존되는 양이다.(시간에 따라 변하지 않는 양) 전자기 포텐셜이 있을 때 Lagrangian은 다음과 같이 적을 수 있다.

$$ L=\frac{1}{2}m\dot{\vec{x}}^2 -q\phi + q \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A} $$

여기서 \( \phi \)와 \( \vec{A} \)는 각각 전자기 scalar potential과 vector potential이다. 이 때 canonical momentum은 다음과 같이 정의 된다.

$$ \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}} = m\dot{\vec{x}} + q\vec{A} $$

따라서 \( \dot{\vec{x}} = (\vec{p} - q\vec{A})/m \)이다. Legendre transformation을 통해 다음과 같은 Hamiltonian을 얻는다.

$$ H = \frac{1}{2m} (\vec{p} - q\vec{A})^2 + q\phi $$

 

 - 두 번째 항은 Zeeman splitting을 주는 항이다. 나머지는 잘 모름

 - 세 번째 항은 spin-orbit coupling 효과를 주는 항이다. 나머지는 잘 모름

 

 - \( H_{coulomb} \)은 외부 전기장과 외부 전하와 상호작용을 넣는다.

 - 마지막 항은 photon의 에너지다. Quantum field theory에서 제안하는 canonical quantization 가설을 통해 어떤 wavevector와 polarization을 갖는 photon을 만들거나(creation) 없애는(annihiliate) 연산자를 정의할 수 있다. 이것은 이론적 흥미를 줄 뿐만 아니라 계산의 편의성 향상에 큰 기여를 한다. 벡터 포텐셜도 photon operator로 표현할 수 있다.

 

2. Vector potential operator

$$ \vec{A}(\vec{r}) = \sum_{\kappa, \epsilon} \sqrt{\frac{\hbar}{2V\epsilon_0 \omega_{\kappa}}} \epsilon a_{\kappa \epsilon} e^{i\kappa \cdot \vec{r}} + \epsilon^{*} a_{\kappa \epsilon}^{\dagger} e^{-i\kappa \cdot \vec{r}} $$

 

- 고전 전기역학에서 \( \vec{E} = -\nabla\phi - \partial \vec{A} / \partial t \) 임을 알고 있다. 전기장은 항상 요소가 실수값이어야 하기 때문에 \( \vec{A} \)가 반드시 실수여야만 한다. 이러한 조건을 만족시키기 위해 위 vector potential operator는 각 sum의 두 항이 hermitian conjugate 관계에 있게 했다.

 

3. Fermi's golden rule

 - time-dependent perturbation theory

 Hamiltonian이 시간에 의존하게 되면 더 이상 변수 분리법으로 Schrodinger equation을 풀 수 없다. 시간에 의존하는 Schrodinger equation에 대해 직접 살펴봐야 한다. 방정식은 다음과 같이 쓰일 것이다.

$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\alpha ; t}_S = H(t) \ket{\alpha ; t}_S $$

 여기서, \( H(t) = H_0 + V(t) \)이다. \( H_0 \)의 eigenstate와 energy는 모두 알고 있다고 가정한다. 그것을 앞으로 각각 (\ \ket{n} \)과 \( E_n \)으로 부른다. Eigenstate들의 completeness와 orthogonality에 의해 시간에 의존하든 말든 관계없이 어떤 ket state도 eigenstate들의 선형결합을 통해 쓸 수 있다. 이제 목표를 명확하게 설명할 수 있다. Schrodinger equation을 만족하는 (\ \ket{\alpha ; t}_S \)를 \( H_0 \)의 eigenstate들의 선형결합으로 표현하는 것이다. 문제를 간단하게 만들기 위해 초기 상태는 \( H_0 \)의 eigenstate인 \( \ket{i} \)였다고 가정하자. 그렇다면 time-dependent solution은 다음과 같은 형태를 가져야 한다.

$$ \ket{i ; t}_S = \sum_{n=0}{N} c_{n}(t) e^{-iE_n t / \hbar} \ket{n} $$

 여기서 초기시각 \( t_0 \)에서의 계수들의 값은 \( c_n (t_0) = \delta_{ni} \)이다. 이 표현을 더 간단하게 하기 위해 time-evolution operator를 다음과 같이 정의해보자.

$$ \ket{i ; t}_S = U(t, t_0) \ket{i;t_0}_S $$

 그러면, \( \ket{n} \)앞의 계수들은 \( \bra{n} U(t,t_0) \ket{i} \)라고 쓸 수 있다. 이것을 transition amplitude라고 한다. 이것의 절댓값의 제곱이 \( t - t_0 \)의 시간이 흘렀을 때 시스템의 상태가 \( n \)으로 관측될 확률이다. 따라서 그 양은 transition probability라고 한다. 이것을 구하는 것이 미래 시스템의 상태를 예측하는데 중요한 것임을 바로 알 수 있다. 이것을 쉽게 구하는데 이용할 수 있는 표현법이 interaction picture다.

 Interaction picture는 ket과 operator들을 다음과 같이 표현한다.

 $$ \ket{i;t}_I \equiv e^{iH_0 t / \hbar}\ket{i;t}_S $$

 $$ V_I(t)  \equiv e^{iH_0 t / \hbar} V(t) e^{-iH_0 t / \hbar} $$

 정의에 의해 Schrodinger equation과 비슷한 다음의 방정식이 만족된다.

$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{i ; t}_I = V_I (t) \ket{i ; t}_I $$

 역시 Schrodinger picture에서와 비슷하게, time-evolution operator를 정의한다.

$$ \ket{i ; t}_I = U_I (t, t_0) \ket{i ; t_0}_I $$

 그렇다면 \( \ket{i ; t}_I \)에 대한 방정식에 의해 \( U_I (t, t_0) \)에 대한 방정식을 얻을 수 있다.

$$ i\hbar \frac{d}{dt} U_I(t,t_0) = V_I(t) U_I(t,t_0) $$

 이제 생기는 질문은 두 가지다. "\( U_I(t,t_0) \)가 \( U(t, t_0) \)와 어떤 관계인가?" 와 만약 거의 비슷한 관계라면 원하는 transition probability계산에 쓰일 수 있는 것일 텐데 그렇다면 "U_I(t, t_0)를 실제로 어떻게 구할 것인가?" 라는 질문이다. 일단 두 time-evolution operator사이의 관계를 알아보자.

\[ \begin{gather} \ket{i;t}_I = e^{iH_0 t / \hbar} \ket{i;t}_S \\ = e^{iH_0 t / \hbar} U(t, t_0) e^{-iH_0 t_0 / \hbar} e^{iH_0 t_0 / \hbar} \ket{i;t_0}_S \\ = U_I(t, t_0) \ket{i;t_0}_I  \end{gather} \]

 따라서, \( U_I(t, t_0) = e^{iH_0 t / \hbar} U(t, t_0) e^{-iH_0 t_0 / \hbar} \)이다. 이 때, transition amplitude는 다음과 같다.

$$ \bra{n} U_I(t,t_0) \ket{i} = e^{i (E_n t - E_i t_0) / \hbar} \bra{n} U(t,t_0) \ket{i} $$

 그러면 처음에 알고자 했던 transition amplitude와 phase차이 밖에 없으므로, 절댓값의 제곱인 transition probability는 차이가 없다. 그러면 \( U_I \)에 대해 잘 알고 있으면 문제를 풀 수 있는 것이다. 하지만 이것을 어떻게 이용할 것인가?

 U_I에 대한 방정식을 이미 얻었기 때문에 근사적인 적분 표현식을 얻을 수 있다. 그것을 다음과 같이 표현할 수 있다.

 $$ U_I(t,t_0) = 1 + \frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^{t} dt' V_I(t') + \frac{1}{(i\hbar)^2} \int_{t_0}^{t} dt' \int_{t_0}^{t'} dt'' V_I(t')V_I(t'') + ... $$

 이것을 Dyson series라고 부른다. Transition amplitude를 구하려면 bra와 ket을 씌우면 된다.

$$ c_n (t) = \bra{n} U_I(t,t_0=0) \ket{i} $$

$$ c_n^{(0)} (t) = \delta_{ni} $$

$$ c_n^{(1)} (t) = \frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^{t} dt' V_{ni}(t') $$

$$ c_n^{(2)} (t) = \frac{1}{(i\hbar)^2} \int_{t_0}^{t} dt' \int_{t_0}^{t'} dt'' \sum_{m} e^{i\omega_{nm}t'}e^{i\omega_{mi}t''}V_{nm}(t')V_{mi}(t'') $$

 

 - Fermi golden rule : constant perturbation example

 어떤 순간부터 계에 어떤 포텐셜이 작용한다고 하자. 즉, \(t < 0\) 일 때 \( V(t) = 0 \)이다가, \( t > 0 \) 일 때 \( V(t) = V \)가 된다는 것이다. 여기서 \( V \)는 operator다. 위의 만들어진 공식들을 이용해서 바로 transition amplitude를 구해볼 수 있다.

$$ c_n^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^{t} dt' e^{i\omega_{ni}t} V_{ni} =\frac{V_{ni}}{\hbar\omega_{ni}} (1-e^{\omega_{ni}t}) $$

여기서 \( \omega_{ni} = (E_n - E_i)/\hbar \)이다. 바로 이어서 transition probability를 구해보면 다음과 같다.(\(n \neq i\))

$$ |c_n(t)|^2 = |c_n^{(1)}(t)|^2 = \frac{4|V_{ni}|^2}{|\hbar\omega|^2} \sin^2(\frac{\omega_{ni}t}{2}) $$

\(\omega_{ni}\)에서 잠시 아래첨자 기호를 생략했다. 이 이상의 분석은 사실 완전한 주장이라고 보기 어렵다. 내 수준에서는 다음의 관찰을 일단 기억해 놓는 것으로 만족해야될 것 같다.

 관찰. 시간이 오래지나고나서 transition probability의 변화

 Transition amplitude의 first order만 고려했기 때문에, 시간이 지날수록 점점 오차가 거질 것이다. 그럼에도 불구하고 first order probability의 값이 어떻게 변하는지 관찰한다. 위에서 \( |c_n(t)|^2 \)은 다음 그래프를 갖는다.

 따라서 시간이 지날수록 zeros가 0으로 모이고, \( \omega = 0 \)에서 발산하는 모양을 얻을 수 있다. 이것은 dirac delta function과 완전히 일치하지는 않지만 그러한 역할을 하는 nascent dirac delta function이라고 한다. 이와 관련된 Sakurai에 제시된 공식은 다음과 같다.

$$ \lim_{\alpha \rightarrow \infty } \frac{\sin^2{\alpha x}}{\alpha x^2} = \delta(x) $$

이것을 이용하면 \( |c_n(t)|^2 = 2\pi / \hbar |\V_{ni}|^2 \delta(E_n - E_i) t \)를 얻는다. 여기서 \( t \)를 없앤 표현식이 Fermi's golden rule이다. 이것을 없애는 것이 어떻게 합리화 되는 것인지 아직 불분명하다. 하지만 용도는 파악할 수 있었는데, 단위시간당 사건이 일어날 확률로, 만약 10초의 시간 동안 100번의 실험을 통해 n 상태에 있음을 12번 확인했다면 단위시간당 확률은 12/(100*100)일 것이다. 이러한 예시와 비슷하게 scattering 실험에서 단위시간당 확률인 golden rule 공식을 flux로 나누면 scattering cross section을 얻을 수 있는데, 이것도 아직 왜 그런지는 불분명하다.

 

* 남은 학습

1. 상호작용 Hamiltonian의 각 항들을 어떻게 유도하는가?

2. Transition probability가 1을 넘어서 발산하는 것을 어떻게 해석해야 적절한가?(unitarity 없어짐) perturbation correction을 끝없이 더해도 문제는 계속되는가? 

3. Fermi's golden rule의 물리적 의미는 무엇인가?(wikipedia에 의하면 initial state에 존재할 확률이 exponential하게 감쇠되는데 그 때의 decay rate라고 말한다. 하지만 exponential decay를 구할 때 필요한 Markov approximation은 적절한 것인가? 그것의 실질적 의미가 무엇인가?)

 

* 참고문헌

[1] Luuk J.P. Ament et al, Resonant inelastic x-ray scattering studies of elementary excitations ...

[2] Sakurai et al, Quantum Mechanics 3rd